Exercice 2
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule
bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que
chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant
Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :
. à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9;
•si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine
suivante est 0,95
• si le client n'a pas rapporte la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'll ramène la bouteille du panier la
semaine suivante est 0,2.
On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entler naturel n non nul, on note R₁, l'événement « le client
rapporte la bouteille de son panier de la n-lème semaine ».
1. Pour tout entier naturel n non nul, on note ri la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la n-lème semaine. On
a alors r= P(R)
Recopler et compléter l'arbre pondéré (aucune Justification n'est attendue):
Rm+1
R+1
R₂
R+1
Rn+1
2. Justifier que pour tout entier naturel 12 non nul, n+1 = 0,75 x rn +0,2.
3. Pour tout entier naturel n non nul, on considère la suite (v) définie par un= r -0,8.
Démontrer que la suite (v₁) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
4. Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, l'expression de r'n en fonction de n.