Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = -9 \ln (12)[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Calculus

  • Partial Fraction Decomposition

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)][/tex]

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integration

  • Integrals

Integration Rule [Fundamental Theorem of Calculus 1]:                                     [tex]\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)[/tex]

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                       [tex]\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

  1. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13\int\limits^{10}_{-1} {\frac{y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy[/tex]
  2. [Integrand] Factor:                                                                                         [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13\int\limits^{10}_{-1} {\frac{y}{(y - 11)(y + 2)}} \, dy[/tex]

Step 3: integrate Pt. 2

  1. [Integrand] Split [Partial Fraction Decomp]:                                                 [tex]\displaystyle \frac{y}{(y - 11)(y + 2)} = \frac{A}{y - 11} + \frac{B}{y + 2}[/tex]
  2. [Decomp] Rewrite:                                                                                         [tex]\displaystyle y = A(y + 2) + B(y - 11)[/tex]
  3. [Decomp] Substitute in y = -2:                                                                       [tex]\displaystyle -2 = A(-2 + 2) + B(-2 - 11)[/tex]
  4. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle -2 = -13B[/tex]
  5. Solve:                                                                                                             [tex]\displaystyle B = \frac{2}{13}[/tex]
  6. [Decomp] Substitute in y = 11:                                                                       [tex]\displaystyle 11 = A(11 + 2) + B(11 - 11)[/tex]
  7. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle 11 = 13A[/tex]
  8. Solve:                                                                                                             [tex]\displaystyle A = \frac{11}{13}[/tex]
  9. [Split Integrand] Substitute in variables:                                                     [tex]\displaystyle \frac{y}{(y - 11)(y + 2)} = \frac{\frac{11}{13}}{y - 11} + \frac{\frac{2}{13}}{y + 2}[/tex]

Step 4: Integrate Pt. 3

  1. [Integral] Rewrite [Split Integrand]:                                                               [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13\int\limits^{10}_{-1} {\bigg( \frac{\frac{11}{13}}{y - 11} + \frac{\frac{2}{13}}{y + 2} \bigg)} \, dy[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Addition/Subtraction]:              [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13 \bigg[ \int\limits^{10}_{-1} {\frac{\frac{11}{13}}{y - 11}} \, dy + \int\limits^{10}_{-1} {\frac{\frac{2}{13}}{y + 2}} \, dy \bigg][/tex]
  3. [Integrals] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:               [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13 \bigg[ \frac{11}{13}\int\limits^{10}_{-1} {\frac{1}{y - 11}} \, dy + \frac{2}{13}\int\limits^{10}_{-1} {\frac{1}{y + 2}} \, dy \bigg][/tex]

Step 5: Integrate Pt. 4

Identify variables for u-substitution.

Integral 1

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = y - 11[/tex]
  2. [u] Differentiation [Basic Power Rule, Derivative Properties]:                   [tex]\displaystyle du = dy[/tex]
  3. [Bounds] Switch:                                                                                           [tex]\displaystyle \left \{ {{y = 10 ,\ u = 10 - 11 = -1} \atop {y = -1 ,\ u = -1 - 11 = -12}} \right.[/tex]

Integral 2

  1. Set v:                                                                                                               [tex]\displaystyle v = y + 2[/tex]
  2. [v] Differentiate [Basic Power Rule, Derivative Properties]:                       [tex]\displaystyle dv = dy[/tex]
  3. [Bounds] Switch:                                                                                           [tex]\displaystyle \left \{ {{y = 10 ,\ v = 10 + 2 = 12} \atop {y = -1 ,\ v = -1 + 2 = 1}} \right.[/tex]

Step 6: Integrate Pt. 5

  1. [Integrals] U-Substitution:                                                                             [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13 \bigg[ \frac{11}{13}\int\limits^{-1}_{-12} {\frac{1}{u}} \, du + \frac{2}{13}\int\limits^{12}_{1} {\frac{1}{v}} \, dv \bigg][/tex]
  2. [Integrals] Logarithmic Integration:                                                              [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13 \bigg[ \frac{11}{13}(\ln |u|) \bigg| \limits^{-1}_{-12} + \frac{2}{13}(\ln |v|) \bigg| \limits^{12}_{1} \bigg][/tex]
  3. Evaluate [Integration Rule - Fundamental Theorem of Calculus 1]:           [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 13 \bigg[ \frac{11}{13}[-\ln (12)] + \frac{2}{13}[\ln (12)] \bigg][/tex]
  4. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = 11[-\ln (12)] + 2[\ln (12)][/tex]
  5. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = -11\ln (12)] + 2\ln (12)[/tex]
  6. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int\limits^{10}_{-1} {\frac{13y}{y^2 - 9y - 22}} \, dy = -9 \ln (12)[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

Otras preguntas