Answer:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{8}\pi[/tex]
Step-by-step explanation:
Para resolver este problema podemos comenzar haciendo un diagrama de cómo se vería un volumen diferencial en esta situación (ver imagen adjunta).
A partir de dicha imagen, podemos escribir una integral general que nos dirá como encontrar el volumen de toda la figura:
[tex]V=\int\limits^\pi_0 {A_{T}} \, dx[/tex]
Para lo cual necesitamos encontrar una ecuación para el área del triángulo. Sabemos que el area de un triángulo está dada por:
[tex]A_{T}=\frac{bh}{2}[/tex]
donde
b=base
h=altura
Ahora bien, como estamos hablando de triángulos equilateros, la altura puede reescribirse en términos de la base, haciendo uso de pitágoras, entonces obtenemos que:
[tex]h=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}}{4}}[/tex]
lo cual se puede simplificar:
[tex]h=\sqrt{\frac{3b^{2}}{4}}[/tex]
[tex]h=\frac{\sqrt{3}}{2}b[/tex]
y esto a su vez puede ser sustituido en la ecuación del área:
[tex]A=\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}[/tex]
En este caso, sabemos que la base está limitada por el eje x y la curva y=sen(x) (asumo que es de [tex]0\leq x \leq \pi[/tex]. Si los límites son distintos, lo único que cambia del procedimiento es eso, los límites de integración).
Entonces en este caso la base está dada por:
b=sen(x)
la cual puede ser sustituida en nuestra ecuación del área:
[tex]A=\frac{\sqrt{3}}{4}sen^{2}(x)[/tex]
y esta a su vez puede ser sustituida en nuestra integral:
[tex]V=\int\limits^\pi_0 {\frac{\sqrt{3}}{4}sen^{2}(x)} \, dx[/tex]
La cual puede ser simplificada:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{4}\int\limits^\pi_0 {sen^{2}(x)} \, dx[/tex]
Y ya podemos integrar. Por identidades trigonométricas sabemos que:
[tex]sen^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}[/tex]
por lo que podemos sustituir la identidad en nuestra integral:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{4}\int\limits^\pi_0 {\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx[/tex]
Y separarla en dos integrales:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{4}(\int\limits^\pi_0 {\frac{1}{2}}-\int\limits^\pi_0 {\frac{cos(2x)}{2}}) \, dx[/tex]
E integramos:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{4}([\frac{1}{2}]^{\pi}_{0}-\frac{1}{4}[sen(u)]^{2\pi}_{0})[/tex]
Lo cual nos da de resultado:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{2}\pi-\frac{1}{2}(0)-\frac{1}{4}[sen(2\pi)-sen(0)])[/tex]
Y este se simplifica a:
[tex]V=\frac{\sqrt{3}}{8}\pi[/tex]
