Respuesta :

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Answer:

[tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 + 2)(3x^4 - 6x^3 - 39x^2 - 36x + 14)}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

  1. Brackets
  2. Parenthesis
  3. Exponents
  4. Multiplication
  5. Division
  6. Addition
  7. Subtraction
  • Left to Right

Distributive Property

Algebra I

  • Terms/Coefficients
  • Expanding
  • Factoring
  • Functions
  • Function Notation

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)][/tex]

Basic Power Rule:

  • f(x) = cxⁿ
  • f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Product Rule]:                                                                             [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)[/tex]

Derivative Rule [Quotient Rule]:                                                                           [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [\frac{f(x)}{g(x)} ]=\frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}[/tex]

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]

Step-by-step explanation:

*Note:

This is a pretty dense problem!

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle f(x) = \frac{(x + 3)(x^2 + 2)^2}{x^2 - 3x - 2}[/tex]

Step 2: Differentiate

  1. Quotient Rule:                                                                                                   [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2)\frac{d}{dx}[(x + 3)(x^2 + 2)^2] - \frac{d}{dx}[(x^2 - 3x - 2)](x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  2. Basic Power Rule [Derivative Property - Subtraction]:                                   [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2)\frac{d}{dx}[(x + 3)(x^2 + 2)^2] - (2x^{2 - 1} - 3x^{1 - 1} - 0)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  3. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2)\frac{d}{dx}[(x + 3)(x^2 + 2)^2] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  4. Product Rule:                                                                                                    [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ \frac{d}{dx}[(x + 3)](x^2 + 2)^2 + (x + 3)\frac{d}{dx}[(x^2 + 2)^2] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  5. [Brackets] Basic Power Rule [Derivative Property - Addition]:                      [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^{1 - 1} + 0)(x^2 + 2)^2 + (x + 3)\frac{d}{dx}[(x^2 + 2)^2] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  6. [Brackets] Simplify:                                                                                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)^2 + (x + 3)\frac{d}{dx}[(x^2 + 2)^2] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  7. [Brackets] Chain Rule:                                                                                      [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)^2 + (x + 3)2(x^2 + 2)^{2 - 1} \cdot \frac{d}{dx}[(x^2 + 2)] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  8. [Brackets] Simplify:                                                                                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)^2 + 2(x + 3)(x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}[(x^2 + 2)] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  9. [Brackets] Basic Power Rule [Derivative Property - Addition]:                      [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)^2 + 2(x + 3)(x^2 + 2) \cdot (2x^{2 - 1} + 0) \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  10. [Brackets] Simplify:                                                                                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)^2 + 2(x + 3)(x^2 + 2) \cdot 2x \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  11. [Brackets] Multiply:                                                                                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)^2 + 4x(x + 3)(x^2 + 2) \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  12. [Brackets] Factor:                                                                                              [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)[(x^2 + 2) + 4x(x + 3)] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  13. [Inner Brackets] (Parenthesis) Distribute 4x:                                                  [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2) \bigg[ (x^2 + 2)[(x^2 + 2) + 4x^2 + 12x] \bigg] - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  14. [Inner Brackets] Combine like terms:                                                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 - 3x - 2)(x^2 + 2)(5x^2 + 12x + 2) - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)^2}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  15. Factor:                                                                                                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 + 2) \bigg[ (x^2 - 3x - 2)(5x^2 + 12x + 2) - (2x - 3)(x + 3)(x^2 + 2) \bigg]}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  16. [Brackets] Expand:                                                                                            [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 + 2) \bigg[ (5x^4 - 3x^3 - 44x^2 - 30x - 4) - (2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 6x - 18) \bigg]}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  17. [Brackets] Distribute negative:                                                                        [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 + 2) \bigg[ 5x^4 - 3x^3 - 44x^2 - 30x - 4 - 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 18 \bigg]}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]
  18. [Brackets] Combine like terms:                                                                     [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2 + 2)(3x^4 - 6x^3 - 39x^2 - 36x + 14)}{(x^2 - 3x - 2)^2}[/tex]

And we are done!

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e

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