[tex]\vec r(t)=2\cos t\,\vec\imath+2\sin t\,\vec\jmath+t\,\vec k[/tex]
[tex]\implies\vec r'(t)=-2\sin t\,\vec\imath+2\cos t\,\vec\jmath+\vec k[/tex]
[tex]\implies\|\vec r'(t)\|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2+1^2}=\sqrt5[/tex]
Then the length of the arc is
[tex]\displaystyle\int_0^{2\pi}\|\vec r'(t)\|\,\mathrm dt=\sqrt5\int_0^{2\pi}\mathrm dt=2\sqrt5\,\pi[/tex]
